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Le Parachutiste

vendredi 1er décembre 2006

I. Introduction

On considère un parachutiste,

sautant à une certaine hauteur.
Le but étant d’obtenir le temps optimal entre l’instant où le parachutiste saute et le moment où il atteint le sol ; ceci bien évidement de sorte que ce dernier arrive "en un morceau". Il faut donc trouver un compromis entre le temps et une vitesse de contact limite : on doit déterminer l’instant où il doit ouvrir son parachute.

I.1. Question

A quel temps ultime faut-il ouvrir le parachute ?

I.2. Condition

Il faut que la vitesse de contact du parachutiste avec le sol soit ≤ 10m/s. Cette donnée correspond à une supposée limite à laquelle le parachutiste arrive "en un morçeau".

II. Matériel et Méthodes

Nous utilisons le programme Stella 7.0.3. pour déterminer ce moment terminal.

II.1. Mise en place d’un "modèle"

II.2. Eléments du sytsème

Position On y remplit la hauteur initiale de saut.
Vitesse Vitesse initiale au moment du saut, évidemment nulle.
g, masse et poids Poids = m•g
Accélération Combinée avec Poids, Masse et g.
Ffrott Force de frottement exercée sur le parachutiste et relative à sa vitesse et à sa "surface".
Rho ; Cx ; S Composants de Ffrott = 1/2•Rho•Cx•S•Vitesse2.
 Respectivement :
 Rho est la masse volumique de l’air
 S est la section apparente
 Cx est le coefficient de forme
t_ouverture ; durée_ouverture Eléments combinés dans les fonctions STEP et SMTH3 qui agissent sur le graphique.
STEP et SMTH3 Fonctions de Stella permettant des "effets" sur le graphique pour en faciliter son interprétation ultérieure. Notamment, SMTH3 "lisse" un intervalle du graphique qui serait normalement "droite".
Marche ; Marche_lissée Eléments du système correspondant et utilisant les fonctions STEP et SMTH3 :
 marche = STEP(1.25,t_ouverture)
 marche_lissée = SMTH3(marche,durée_ouverture)

II.3. Correspondance numérique (données)

Données du Système
Représentation plus "mathématique" du système.

Une version plus "mathématique" est présentée ci-dessus, négligeant un contact visuel et intuitif au profit de calculs exacts et exhaustifs.

II.4. Création graphique

II.4. Création graphique

On voit ici :
 la Position
 la vitesse
 l’élément t_ouverture

On jongle avec t_ouverture jsuqu’à arriver par tatônnement à trouver une correspondance vitesse - position satsisfaisant les conditions énoncées au point I.2.

III. Discussion et Résultats

Cet article ne se veut pas exhaustif sur toutes les méthodes possibles pour trouver la réponse à la question. La méthode "par tatônnement" est celle qui a été utilisée, par conséquent c’est celle-là qui est expliquée ici et pas une autre.

III.1. Résultat "Graphique"

Procédant par tatônnement, nous avons entré des valeurs pour t_ouverture comprises entre 33 et 39 (secondes), essayant par écarts de 0.25.

Ceci dans le but d’avoir une vitesse inférieure ou égale à 10 m/s (en fait -10 m/s car vers le bas) au moment du contact avec le sol (hauteur donc position = 0).

III.1._Resultat_Graphique_rema sterise.bmp

Ainsi, on a sur le graphique ci-dessus, la correspondance (en orange) entre :
 ce qu’il faut : position = 0
 la vitesse limite exigée : vitesse = -10 m/s
 le temps total découlant des 2 autres : t = 43.25 s

Cette correspondance est due au paramètre t_ouverture (la réponse) où l’on a tenté plusieurs données jusqu’à trouver celle qui regroupe les éléments de la liste ci-dessus simultanément.

On connaît donc la réponse : t_ouverture = 35.25 secondes

III.2. La Réponse

Les conditions étaient :

-Le Parachutiste saute à 1000 mètres d’altitude.

-La durée d’ouverure du parachute est de 3 secondes.

-Le parachutsite subit un frottement au cours de sa chute dû à l’air, à sa vitesse et à sa "surface".

-Il a une masse (rigoureusement : lui et son parachute ont une masse) de 80 kilogrammes.
-La question était :

-A quel temps ultime faut-il ouvrir le parachute ?

-ce qui correspond à déterminer t_ouverture, l’intervalle de temps entre le saut de l’avion et l’ouverture du parachute.
La réponse est : temps d’ouverture = 35.25 secondes
On sait aussi que (information supplémentaire) :

le parachutsite touche le sol à un temps t = 43.25 secondes

IV. Conclusion

Ce travail nous a permi de confronter un problème réel avec le programme de calcul Stella 7.0.3.

On a pu y constater les avantages de la simulation, notamment une visualisation de plusieurs facteurs au cours du temps et une vue d’ensemble des différents éléments à tenir en compte simultanément. Nonobstant, cette expérience nous a également donné un aperçu des limites d’une analyse sur ordinateur, par exemple lorsque nous avons dû recourir aux fonctions SMTH3 et STEP pour rendre les courbes plus "réalistes".

Apres_le_saut-2.jpg

Heureusement pour lui, notre parachutiste s’en tire en un morceau !

P.S. : Ce travail a été fait par Antonio Rodriguez Pupo du groupe d’Applications des Maths 3AMOS-01.

Portfolio

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