par Antonio Rodriguez Pupo, Lionel Balmer
Dans cette expérience, nous lâchons deux cylindres, l’un est évidé l’autre plein, de même masse et de même rayon sur un plan incliné. Nous remarquons qu’ils ne subissent pas la même accélération. Cela est dû au fait que la matière n’est pas répartie de même façon autour de l’axe de rotation. Ce phénomène est dû aux moments d’inerties différents des cylindres .
Plan
1. Introduction
2. Matériels
3. Consignes
5. Réponses
6. Conclusion
1. Introduction
Notre expérience consiste à déterminer les moments d’inertie de 2 cylindres roulant sur une pente. Les cylindres ont la même masse et le même rayon. L’un est en aluminium plein, l’autre en laiton évidé.
Nous les faisons rouler sur une pente, à différentes inclinaisons, en mesurant le temps de passage entre 2 cellules photoélectriques.
En effectuant plusieurs mesures supplémentaires, telles que la longueur, le diamètre, l’angle ou encore la masse volumique ; nous sommes en mesure de calculer les moments d’inertie de chaque cylindre.
2. Matériels
Nous avons utilisé le dispositif suivant :
Avec un cylindre en aluminium plein
Et un cylindre en laiton évidé
3. Consignes
| I. | Pesez les deux cylindres et estimez l’incertitude sur les masses. Réponses |
|---|---|
| II. | Mesurez les dimensions des cylindres (rayon, rayon intérieur, longueur) et estimez l’incertitude sur ces dimensions. Réponses |
| III. | Mesurez la distance séparant les deux cellules photoélectriques et estimez l’incertitude sur ces dimensions. Réponses |
| IV. | Mesurez l’inclinaison du plan. Réponses |
| V. | Mesurez le temps nécessaire à chaque cylindre pour franchir la distance entre les deux cellules photoélectriques pour différentes inclinaisons. Réponses |
| a. | Calculez la masse volumique de chaque cylindre et l’incertitude sur celle-ci. Réponses |
|---|---|
| b. | Calculez le temps moyen de roulement pour chaque inclinaison. Réponses |
| c. | Calculez les accélérations des cylindres pour les différents angles et l’incertitude sur celles-ci. Réponses |
| d. | Reportez graphiquement l’accélération des cylindres en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison. Réponses |
| e. | Calculez les moments d’inertie des cylindres et l’incertitude sur ceux-ci en utilisant différentes accélérations. Réponses |
| f. | Comparez ces moments aux valeurs obtenues en utilisant les formules des « Tables et formulaires CRM ». Réponses |
4. Valeurs mesurées
| {{}} | {{}} | Aluminium | Laiton |
| Masse | 1.0613 ± 0.00005 kg | 1.062 ± 0.00005 kg | |
| Rayon intérieur | pas de données | 0.0209750 ± 0.0000125 m | |
| Rayon extérieur | 0.025 ± 0.0000125 m | 0.025 ± 0.0000125 m | |
| Longueur | 0.214 ± 0.0005 m | 0.214 ± 0.0005 m | |
| Diamètre intérieur | pas de données | 0.041950 ± 0.000025 m | |
| Diamètre extérieur | 0.05 ± 0.000025 m | 0.05 ± 0.000025 m |
| Distance entre les deux cellules photoélectriques | 1.002 ± 0.001 m |
|---|
Nous avons utilisé 6 inclinaison différentes correspondant au lettres grecques : alpha (α), bêta (β), gamma (γ), delta (δ), epsilon (ε), zêta (ζ).
Établis grâce à la tangente que nous calculons :
| $\tan$(Angle) = $\frac{\mbox{D\’enivelation}}{\mbox{Longueur au sol}}$ |
Nous trouvons :
| Angle en degré | Angle en radian |
|---|---|
| α = 8.320519671° | α = 0.145220464 |
| β = 8.180229882° | β = 0.14277195 |
| γ = 7.336471441° | γ = 0.180558 |
| δ = 5.355825043° | δ = 0.09376781 |
| ε = 2.933841857° | ε = 0.051205 |
| ζ = 2.004534032° | ζ = 0.03985719 |
Ci-dessous, une liste des temps de parcours des cylindres entre les deux cellules photoélectriques en fonction de l’angle d’inclinaison de la rampe. Cette inclinaison étant réglée par le cric.
Nous avons effectué 5 tirs par inclinaison, correspondants aux temps : T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; T5.
- Alpha (α)
| Aluminium | 1.3933 s | 1.3988 s | 1.3925 s | 1.3911 s | 1.3966 s |
|---|---|---|---|---|---|
| Laiton | 1.5479 s | 1.5471 s | 1.5490 s | 1.5502 s | 1.5484 s |
- Bêta (β)
| Aluminium | 1.4148 s | 1.4200 s | 1.4156 s | 1.4259 s | 1.4172 s |
|---|---|---|---|---|---|
| Laiton | 1.5775 s | 1.5763 s | 1.5780 s | 1.5780 s | 1.5767 s |
- Gamma (γ)
| Aluminium | 1.4867 s | 1.4784 s | 1.4838 s | 1.4840 s | 1.4849 s |
|---|---|---|---|---|---|
| Laiton | 1.6433 s | 1.6443 s | 1.6457 s | 1.6441 s | 1.6467 s |
- Delta (δ)
| Aluminium | 1.7352 s | 1.7270 s | 1.7275 s | 1.7243 s | 1.7397 s |
|---|---|---|---|---|---|
| Laiton | 1.9203 s | 1.9238 s | 1.9212 s | 1.9190 s | 1.9211 s |
- Epsilon (ε)
| Aluminium | 2.3397 s | 2.3360 s | 2.3300 s | 2.3084 s | 2.3252 s |
|---|---|---|---|---|---|
| Laiton | 2.5773 s | 2.5777 s | 2.5718 s | 2.5674 s | 2.5696 s |
- Zêta (ζ)
| Aluminium | 3.1173 s | 3.0950 s | 3.0777 s | 3.0434s | 3.0452 s |
|---|---|---|---|---|---|
| Laiton | 3.4245 s | 3.4383 s | 3.4153 s | 3.4311 s | 3.4191 s |
5. Réponses aux questions
a. Masse Volumique des cylindres
- Aluminium
| $\rho = \frac{Masse_{aluminium}}{Longueur*\pi*Rayon_{ext\’erieur}^2}$ |
Puis nous posons nos données dans l’équation :
| $\rho = \frac{1.0613 \pm 0.00005}{(0.214 \pm 0.0005)*\pi*(0.025 \pm 0.0000125 )^2}$ |
Nous obtenons finalement :
$\rho = 2525.77 \pm 8.54611$kg/m3
Dans la table CRM, nous lisons :
ρ = 2700 kg/m3
- Laiton
Le même calcul, nonobstant tenant compte du trou traversant ce cylindre :
| $\rho = \frac{Masse_{laiton}}{Longueur*\pi*Rayon_{ext\’erieur}^2 - Longueur*\pi*Rayon_{int\’erieur}^2}$ |
Puis nous introduisons nos données dans l’équation :
| $\rho=\frac{1.062~!\pm~!0.00005}{(0.214~!\pm~!0.0005 )~!*\pi*~![(0.025~!\pm~!0.0000125)^2 - (0.0209750~!\pm~!0.0000125)^2]}$ |
Nous calculons finalement :
$\rho = 8536.37 \pm 15.3029$kg/m3
Nous trouvons dans la table CRM
ρ = 8470 kg/m3
Pour ce faire nous effectuons un simple calcul de moyenne, pour chaque inclinaison et pour chaque cylindre :
| Tmoyen= $\frac{T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5}{5}$ |
Nous calculons les temps suivants :
| Tangle | Aluminium | Laiton |
|---|---|---|
| Tempsα | 1.39446 s | 1.54852 s |
| Tempsβ | 1.4187 s | 1.5733 s |
| Tempsγ | 1.48284 s | 1.64482 s |
| Tempsδ | 1.73074 s | 1.92108 s |
| Tempsε | 2.327214 s | 2.57276 s |
| Tempsζ | 3.07572 s | 3.42566 s |
Évolution graphique :
L’accélération se calcule de la manière suivante :
| a = $\frac{2*d}{t^2}$ |
- Aluminium
L’accélération nous donne :
| Accélération en fonction de l’angle |
|---|
| aα = 1.03059 ± 0.00102853 m/s2 |
| aβ = 0.995673 ± 0.000993685 m/s2 |
| aγ = 0.9114 ± 0.000909581 m/s2 |
| aδ = 0.669012 ± 0.000667677 m/s2 |
| aε = 0.37002 ± 0.000369281 m/s2 |
| aζ = 0.211838 ± 0.000211415 m/s2 |
- Laiton
Puis, de même :
| Accélération en fonction de l’angle |
|---|
| aα = 0.835726 ± 0.000834058 m/s2 |
| aβ = 0.809608 ± 0.000807992 m/s2 |
| aγ = 0.740732 ± 0.000739253 m/s2 |
| aδ = 0.543009 ± 0.000541925 m/s2 |
| aε = 0.30276 ± 0.000302156 m/s2 |
| aζ = 0.170769 ± 0.000170428 m/s2 |
d. Graphique de l’accélération du cylindre en fonction de l’angle d’inclinaison
e. Moments d’Inertie des cylindres
Nos cylindres posés sur la rampe subissent trois forces : le poids m • g ; une force de frottement Ffrott et une force de soutien N normale au plan. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique :
| $\sum$ $\vec F_{frott}$ = m • $\vec a$ |
On détermine l’accélération du centre de masse :
| a = g • $\sin$(Angle) - $\frac{F_{frott}}{m}$ |
L’accélération angulaire α = $\frac{a}{r}$ du cylindre s’obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique, expliquée au-dessus et ici appliquée aux corps solides en rotation :
| $\sum$ M = I • α [1] |
Où $\sum$M est la somme des moments de force agissant sur notre cylindre et I le moment d’inertie de ce dernier. La seule force dont le moment n’est pas nul est Ffrott. La relation ci-dessus s’écrit subséquemment :
| a = $\frac{m*r^2*g*sin(Angle)}{m*r^2+I}$ |
Nous isolons I dans l’équation suivante :
| I = $\frac{-a_{Angle}*m*r^2+g*m*r^2*sin(Angle)}{a_{Angle}}$ |
À partir de cette équation nous pouvons enfin trouver les moments d’inertie :
- Aluminium
| Moment d’inertie en fonction de l’angle |
|---|
| Iα = 0.000250383 ± 0.00000117405 kg • m2 |
| Iβ = 0.000266589 ± 0.00000120719 kg • m2 |
| Iγ = 0.000618819 ± 0.00000192755 kg • m2 |
| Iδ = 0.000247377 ± 0.0000011679 kg • m2 |
| Iε = 0.000236775 ± 0.00000114622 kg • m2 |
| Iζ = 0.000560669 ± 0.00000180862 kg • m2 |
- Laiton
| Moment d’inertie en fonction de l’angle |
|---|
| Iα = 0.000463427 ± 0.0000016108 kg • m2 |
| Iβ = 0.0004803 ± 0.00000164533 kg • m2 |
| Iγ = 0.000914228 ± 0.00000253333 kg • m2 |
| Iδ = 0.000458699 ± 0.00000160112 kg • m2 |
| Iε = 0.000436735 ± 0.00000155617 kg • m2 |
| Iζ = 0.00085503 ± 0.00000241219 kg • m2 |
On en perçoit graphiquement l’évolution :
f. Comparaison avec le formulaire et tables CRM
La formule pour calculer le moment d’inertie données par le CRM est :
- pour un cylindre
| I = $\frac{m*r^2}{2}$ |
Nous calculons :
I = 0.000331656 ± 0.000000347281 kg • m2
- pour un anneau
| I=$\frac{1}{2}*\rho*~![\pi*Longueur*(Rayon_{ext}^2-Rayon_{int}^2)]~!*~!(Rayon_{int}^2+Rayon_{ext}^2)$ |
Nous obtenons :
- Pour la masse volumique (ρ) calculée précédemment
I = 0.000565489 ± 0.00000590075 kg • m2
- Pour la masse volumique (ρ) donnée par le CRM
I = 0.000561092 ± 0.00000484902 kg • m2
6. Conclusion
La détermination expérimentale des moments d’inertie des cylindres et la confrontation des résultats qui en découlent avec des résultats "théoriques" ou tout du moins établis, nous a permis de "réaliser la théorie". De ce fait nous avons pu mieux l’appréhender à travers une expérience, qui en dépit de sa longueur et complexité, s’avère être somme toute ludique et constructive.
Grâce à une volonté de rigueur particulièrement importante dans notre travail, notamment dans la précision des données et calculs, nous avons réussi à obtenir des valeurs expérimentales très proches de celles établies dans le CRM. Ce qui est considérablement gratifiant pour nous.