Que prédit la formule $\mathrm{\Delta }l=\alpha l\mathrm{\Delta }\theta =\alpha l({\theta }_2-{\theta }_1)$ lorsqu’une barre de métal de longueur l subit une variation de température de $\mathrm{\Delta }\theta$ ?

Pour un même écart de température, l’élongation d’une barre métallique chauffée est la même que sa contraction, mais attention, il faut considérer la même longueur initiale dans les deux cas.

Échauffement à partir d’une longueur l, ${\theta }_2-{\theta }_1>0,\mathrm{\Delta }l>0$

$\mathrm{\Delta }l=\alpha l\mathrm{\Delta }\theta =\alpha l({\theta }_2-{\theta }_1)$

Refroidissement à partir d’une longueur l, ${\theta }_2-{\theta }_1<0,\mathrm{\Delta }l<0$

$\mathrm{\Delta }l=\alpha l\mathrm{\Delta }\theta =\alpha l({\theta }_2-{\theta }_1)$

En valeur absolue, les variations de longueur sont égales.

En écrivant $$$l^{\prime }(\theta )=\alpha l(\theta )$ et en résolvant cette équation différentielle, on obtient $l(\theta )=l_0{e}^{\alpha \theta }$

La variation de longueur par rapport à la longueur $l_0$ pour une température positive ou négative de même amplitude n’est plus la même.