– Champ : énergie et oscillations
– Documents autorisés : Aucun. Calculette.
– Mardi 16 janvier 2007, CECNB, M1-M2, 95 min.
– Moyenne de classe : 4.28
– Écart type : 1.03
– Effectif : N=16

Questions (6 points)

1. Comment varie l’amplitude d’un oscillateur harmonique lorsque son énergie totale subit une diminution de 50 % ?
2. Que doit valoir le rapport $\frac{m}{k}$ où m est la valeur de la masse accrochée à un ressort de raideur k pour que l’oscillateur ainsi constitué ait une période de 1 seconde ? Cette période dépend-t-elle de l’amplitude ?
3. Quelle doit être la longueur d’un pendule pour qu’il ait une période de 1 seconde. Cette période dépend-t-elle de l’amplitude ?

Problème 1 (8 points)

Les stations extrêmes d’un funiculaire sont aux altitudes $h_1$ et $h_2$. La voie a une pente constante et une longueur l. Une voiture de masse m descend à la vitesse v. Soudain, le câble qui la retient se casse.

• a) Exprimez la vitesse de la voiture lorsqu’elle a parcouru une distance d depuis l’endroit où la rupture a eu lieu en supposant que la force de frottement qu’elle subit est égale en grandeur au centième de son poids.
• b) Exprimez la force de freinage que devrait subir la voiture pour qu’elle s’arrête sur cette distance d en tenant compte de la force de frottement.

Calculez cette vitesse ainsi que la force de freinage nécessaire pour s’arrêter sur une distance d pour les valeurs $h_1$=500 m, $h_2$=900 m, l=2 km, m=4000 kg, v=18 km/h, d=36 m.

Problème 2 (6 points)

Un ressort de constante k, disposé horizontalement, a une extrémité fixe et une extrémité libre. Un wagonnet de masse m vient buter contre cette dernière avec une vitesse v. Exprimez :

• a) la déformation maximale du ressort.
• b) la durée du contact du wagonnet avec le ressort
• c) le temps nécessaire pour que la vitesse du wagonnet passe de la valeur v à la valeur u.

Calculez ces grandeurs lorsque k=50 N/m, m=1 kg, v=2 m/s, u=1 m/s.

Problème 3 (6 points)

Un oscillateur harmonique a une constante de rappel k et une masse m. Son mouvement a une amplitude A. Calculez :

• a) en quel point son énergie cinétique est égale à son énergie potentielle élastique
• b) à quel moment son énergie cinétique est égale à son énergie potentielle élastique

Problème 4 (6 points)

Vous lancez un objet à la vitesse $v_0$ depuis une fenêtre située à une hauteur h.

• a) Exprimez la vitesse v de l’objet lorsqu’il arrive au sol en négligeant le frottement dans les trois cas suivants : a) Vous lancez l’objet verticalement vers le bas. b) Vous lancez l’objet horizontalement. c) Vous lancez l’objet vers le haut sous un angle de $\frac{\pi}{2}$.
• b) Calculez dans chaque cas cette vitesse v pour les valeurs h=20 m, $v_0$=15 m/s.
• c) Ordonnez les temps de chute par ordre croissant.

Questions posées (hors cours)

Résultats