Épreuve d’applications des maths. Travail d’élève.
Problème 1
a) L’équation différentielle générale permettant d’obtenir les graphiques demandés est la suivante :
$y(0) = y_0$
Les valeurs que nous pouvons d’ores et déjà déterminer sont les suivantes :
| Données | Valeurs |
|---|---|
| y0 | 0.1 |
| ymax | 1 |
C’est le paramètre "c" qui changera la courbure des 4 courbes demandées.
b) Elle peut se résoudre à l’aide de Mathematica, de la manière suivante :
c) Le paramètre c doit être égal aux valeurs suivantes afin d’obtenir les graphiques demandés :
| Courbes | c |
|---|---|
| #1 | 0.4 |
| #2 | 0.6 |
| #3 | 0.8 |
| #4 | 1.0 |
Ce paramètre est bien sûr estimé et possède une marge d’erreur de ± 0.05.
d) L’occupation d’une niche écologique pourrait être un exemple de ce modèle.
e) Dans cette condition, les données sont les suivantes :
| Données | Signification |
|---|---|
| y(t) | Le nombres d’individus, ou la population en fonction du temps. |
| y’(t) | L’augmentation des naissances par unité de temps. |
| y0 | La population initiale lorsque t = 0. |
| ymax | La population maximale, ou la capacité du milieu. |
| c | Paramètre ou taux de croissance de la population. |
Problème 2
a) L’équation peut s’écrire de manière différente afin d’être résolue plus facilement grâce à Mathematica :
$y’(x) = E^{-y} Cos^2(\pi x)$
Donc, elle peut être résolue de la manière suivante :
b) Sachant qu’en x = 0, y = ln(e), le graphique de la solution pour 0 < x < $\pi$ est le suivant :
Problème 3
a) La solution de l’équation y’ = 2x² - y/x satisfaisant la condition initiale est la suivante :
b) Le graphique de cette solution pour -4 < x < 4 est le suivant :
Problème 4
a) La solution générale de l’équation x’’ + x = 0 est la suivante :
b) Pour déterminer les valeurs des constantes d’intégration sachant qu’en t = 0, x = 1 et x’[t] = 2, il faut poser les conditions dans Mathematica de la manière suivante :
c) Le graphique de cette solution satisfaisant les conditions pour t variant de 0 à $2\pi$ est le suivant :
d) Pour obtenir la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0) = 1 et $x(\frac{\pi}{2}) = 0$, il faut poser les conditions et résoudre l’équation avec Mathematica, puis dessiner la fonction, de la manière suivante :
Ce qui nous donne le graphique suivant :
Problème 5
a) Pour résoudre numériquement le système d’équations :
$y’(t) = \frac{5}{2} \cdot x(t) - x(t)²y(t)$
Il faut savoir que pour résoudre numériquement une équation, il faut déterminer une portée pour t, allant d’un tmin à un tmax. Nous allons donc déterminer tmin = 0, et tmax = 10, répondant ainsi directement au deuxième point, et utiliser la formule NDsolve dans Mathematica de la manière suivante :
b) Le graphique obtenu de ce système d’équations, avec t variant de 0 à 10, est le suivant :
c) Pour x(0) variant de 0 à 3, il faut lancer dans Mathematica le code suivant :
Les quatre premiers graphiques sont les graphiques de x(t), les quatre suivants sont les graphiques pour y(t).