Modélisation avec Stella d’un saut en parachute.
A quel instant un parachutiste doit-il ouvrir son parachute, lors de son saut, pour attérir le plus rapidement, sachant qu’il saute d’une altitude de 1000 mètres et qu’il doit toucher le sol à une vitesse inférieure à 10 m/s ?
Nous avons modélisé, à l’aide de Stella, le saut d’un parachutiste. Grâce à Stella, nous pouvons aisément trouver à quelle moment (le plus tard possible) le parachutiste doit ouvrir son parachute afin de toucher terre le plus rapidement possible et vivant.
On sait tout d’abord que la masse du parachutiste est de 80 kg et qu’il saute à une altitude de 1000 m.
Lors de sa chute libre, le parachutiste est soumis à 2 forces :
– Sa force de pesanteur : $\vec{F}_p=m\vec{g}$
– La force de frottement de l’air : ${F}_{frott}=\frac{1}{2}rho*S*Cx*v^{2}$
| rho | masse volumique de l’air | 1,293 $kg/m^{3}$ |
| S | surface apparente | $\pi r^{2}$ |
| Cx | coefficient de pénétration dans l’air | 1 |
A partir de la loi fondamentale de la dynamique : ∑$\vec{F}=m\vec{a}$ et sachant que la force de frottement et la force de pesanteur ont la même direction mais sont de sens opposés, on peut donc écrire l’équation suivante : $\vec{a}=\frac{\vec{F}_{frott}-\vec{F}_p}{m}$
Ainsi nous avons simulé la chute libre du parachutiste (∑F=0 => Ffrott= -Fp). Il nous reste donc à simuler l’ouverture du parachute. Cette ouverture provoque une nette augmentation de la surface apparente (S), qui engendre une augmentation de la force de frottement et donc une diminution de la vitesse (Ffrott > Fp). Pour simuler cela, nous avons utilisé la fonction STEP. Cette fonction fait varier brusquement la valeur à laquelle on la ratache : ici le rayon de la surface apparente. Il nous faut entrer le temps après lequel nous voulons que le parachute s’ouvre. Nous devions entrer le temps optimal pour que la saut soit le plus court ; pour cela nous avons essayé différentes données. Après ça, nous avons utilisé une autre fonction : la fonction SMTH3, qui va lisser cette brutale ouverture. Pour cette fonction, il nous fallait définir l’intervalle de temps sur lequel nous voulions voir notre fonction lissée. Nous avons pris un intervalle de 3 s.
Pour savoir si notre parachutiste ne s’écrase pas au sol, il nous faut observer le graphique. Quand la position (en rouge) arrive à 0, le vitesse (en violet) doit être inférieure à 10 m/s. En prennant pour temps d’ouverture du parachute 36 s, le parachutiste arrive sainement au sol.
On peut apprécier l’utilité du programme Stella pour résoudre ce genre de problemes. Sans celui-ci, on aurait eu du mal à prendre en compte l’ouverture du parachute. Malgré que le programme ne nous permet pas de trouver l’instant d’ouverture du parachute dans ce problème, nous avons pu le résoudre en lançant plusieurs fois la simulation tout en changeant le moment d’ouverture.