L’animation donne une interprétation géométrique de la composition réitérée d’une fonction quadratique avec elle-même. Elle met en parallèle l’orbite décrite par les valeurs de la fonction itérée et l’évolution temporelle de ces valeurs. Ici, le temps est donc discret et correspond au nombre d’itérations.

Activités proposées

Lorsqu’une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu’elle est itérée n fois. La parabole qui coupe l’axe Ox en 0 et en 1 et dont l’ordonnée du sommet est également comprise entre 0 et 1 selon la valeur du paramètre r, est définie par la fonction f(x) = rx(1-x). En composant n fois cette fonction avec elle-même, on obtient, en plus de la valeur initiale x, n valeurs qui décrivent une « orbite ». Si on associe un temps discret au nombre d’itérations, on obtient l’évolution temporelle de ces valeurs en les reportant en fonction du nombre d’itérations.
– Réalisez une animation permettant d’obtenir l’orbite et l’évolution temporelle des valeurs de la fonction quadratique f(x) = rx(1-x) lorsqu’elle est itérée n fois.
– Illustrez la sensibilité aux conditions initiales à l’aide de deux animations.