Le but de ce laboratoire est de démontrer que la raideur d’un ressort peut être calculée de deux manières différentes. La manière statique se fait par la mesure des élongations du ressort en fonction de différentes masses. La manière dynamique est la mesure de la période d’oscillation de notre ressort pour une certaine masse.

Plan

1. Introduction

2. Consignes

3. Mesures

4. Questions

5. Réponses

6. Conclusion

1. Introduction

Dans ce laboratoire, nous disposons de trois ressorts différents. Nous devons trouver leur raideur respective. Pour celà, nous allons utiliser une méthode dite "statique" et une dite "dynamique".

2. Consignes

3. Mesures

C1. Mesures des amplitudes

C2. Détermination de la constante k pour les ressorts

A partir de la formule : $ F=-k\Delta y $

Nous calculons les moyennes suivantes :

C3. Périodes d’oscillation

C4. Constante k en fonction de la période

A partir de la formule : $$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k} }$

Nous trouvons les valeurs de k suivantes :

La dissemblance de valeur en la constante k est induite par moultes imprécisions, telles les mesures de période ainsi que de distance.

C5. Masse permettant de doubler la période T en vérifiant notre pronostic expérimental

Concrètement celà revient, en sachant que $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, à poser :

$ 2T = 2\pi\sqrt{\frac{m’}{k}}$

où m’ est la masse recherchée, nous continuons à développer :

$ 4 T^2 = 2\pi^2\[\left(\frac{m’}{k}\right)\]$

Nous isolons x :

$ m’ = \frac{4 T^2}{4 \pi^2} $

Suite à quoi nous reprenons $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ où avec quoi nous substituons T puis simplifions peu à peu. Finaement nous obtenons :

$ m’ = 4 m $

Pour doubler la période T, il faut quadrupler la masse.

4. Questions

5. Réponses aux Questions

Q1. Vérification de l’équation

L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique est vérifiée.

Prenant la formule, où pour des raisons de calcul nous substituerons $\Delta y$ par $\ x (t)$ :

$ F=-k\Delta y \Rightarrow F=-k\ x (t) $

La comparant à la relation fondamentale de la dynamique :

$ F=m a$

et donc

$ F=m\ddot x (t)$

Nous pouvons alors poser :

$ F=-k\ x (t)=m\ddot x (t) $

Isolons à présent $\ x (t)$ :

$ \ x (t)= \frac{m\ddot x (t)}{-k} $

Sachant que :

$ \ddot x (t) = -\omega^2 Asin(\omega t +\phi) $

Nous pouvons "insérer" cette valeur de $\ddot x (t) $ dans notre équation :

$ \ x (t)= \frac{m\ddot x (t)}{-k} $

devient donc,

$ \ x (t)= \frac{ -m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{-k}= \frac{ m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{k} $

En postulant que :

$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow k = m \omega^2 $

Nous pouvons substituer dès lors notre constante k :

$ \ x (t)= \frac{ m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{m \omega^2} $

Puis éliminer $ m \omega^2 $ présent dès lors au numérateur et dénominateur, ce qui nous donne :

$x(t) = Asin(\omega t+\phi)$

C.Q.F.D.

Q2. Interprétation

– A correspond à l’amplitude.

– ω est la lettre grecque symbolisant la vitesse angulaire.

– Enfin φ est l’angle d’où part le tour de cercle par rapport au standard : φ=0 correspondant au point (cos(1) ;sin(0)) dans un cercle trigonométrique de rayon 1.

Illustration des grandeurs physiques. Nous y voyons notamment deux exemples possibles de valeur pour φ

Q3. Expression de la période T

Reprenant les équations $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ et $ k = m \omega^2 $ de la question 1, nous pouvons (re)poser :

$ m\omega^2 Asin(\omega t +\phi) = k Asin(\omega t +\phi) $

On annule $ Asin(\omega t +\phi) $ :

$ m\omega^2 = k \Rightarrow \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} $

Nous savons que :

$ 2\pi = \omega T \Rightarrow T =2\pi \frac{1}{\omega} $

Substituons à présent $ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} $ qui ici s’inverse pour répondre à la question :

$ T =2\pi\sqrt\frac{m}{k} $

C.Q.F.D.

6. Conclusion

La mesure d’oscillations à travers cette ludique expérience, nous permet de mieux apréhender la théorie et plus particulièrement ses formules. On peut dire que ce labo nous a permis de comprendre vraiment à quoi elles sont dues.