L’École Polytechnique Fédérale de Lausanne a publié en mai 2006 une brochure intitulée « Savoir-faire en mathématiques pour bien commencer à l’EPFL » dont voici quelques extraits.

Algèbre
– Équations, inéquations et systèmes. Le candidat est capable de :

• résoudre équations et systèmes d’équations du premier degré à une, deux ou trois inconnues et illustrer différentes méthodes de résolution
• résoudre des inéquations à une inconnue
• énoncer, démontrer et utiliser la formule de résolution d’une équation du deuxième degré
• représenter graphiquement une fonction du deuxième degré
• démontrer les formules de Viète et factoriser des polynômes du deuxième degré
• résoudre des équations se ramenant à une équation du deuxième degré.

Analyse
– Fonctions usuelles. Le candidat est capable de :

• décrire (domaine de définition, propriétés, représentation graphique) et utiliser les fonctions usuelles suivantes : constante, identité, linéaire, affine, puissance, racine, valeur absolue, $sin(x)$, $cos(x)$, $tan(x)$, $e^x$, $a^x$, $ln(x)$, $log_a(x)$

– Continuité, limites

• présenter de manière intuitive les notions de limite et de continuité d’une fonction
• calculer des limites de fonctions pour $x\rightarrow a$ et $x\rightarrow \infty$, en particulier en levant des indéterminations des types $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$
• définir et déterminer les asymptotes verticales et affines d’une fonction

– Dérivées

• définir la dérivabilité d’une fonction en un point et dans un intervalle
• interpréter graphiquement les éléments intervenant dans la définition de la dérivée
• énoncer et démontrer les théorèmes relatifs à la dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient
• calculer des dérivées à l’aide de la définition et des règles de dérivation (y compris celle concernant la dérivée d’une composée)
• énoncer et utiliser le théorème reliant dérivée première et variation d’une fonction
• utiliser la dérivée pour résoudre des problèmes d’optimisation
• faire l’étude complète d’une fonction dérivable (domaine de définition, parité, périodicité, asymptotes, zéros, extrema et points d’inflexion) et la représenter graphiquement

– Primitives, intégrales

• définir la notion de primitive d’une fonction, utiliser ses propriétés, calculer des primitives de fonctions usuelles
• présenter de manière intuitive la notion d’intégrale comme une limite de sommes
• utiliser des primitives pour le calcul d’intégrales
• appliquer l’intégrale au calcul de l’aire de domaines limités par des graphes de fonctions.

Géométrie
– Trigonométrie. Le candidat est capable de :

• interpréter sur le cercle trigonométrique le sinus et le cosinus d’un angle ou d’un nombre réel et en déduire la périodicité d’une fonction trigonométrique
• énoncer et démontrer les relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques d’un même arc, d’arcs complémentaires, supplémentaires et opposés
• énoncer et démontrer les théorèmes d’addition
• résoudre des équations trigonométriques simples du type $sin(ax)=b$
• énoncer et démontrer les théorèmes du sinus et du cosinus
• résoudre des triangles (rectangles ou quelconques)

– Géométrie vectorielle plane et de l’espace

• présenter la notion de vecteur, les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire avec leurs propriétés, les notions de combinaison linéaire de vecteurs, de vecteurs colinéaires ou coplanaires
• mettre en relation des bases de vecteurs et des repères du plan et de l’espace, en particulier des bases et des repères orthonormés
• déterminer les coordonnées du milieu d’un segment, du centre de gravité d’un triangle et la norme d’un vecteur
• définir le produit scalaire (expressions algébrique et trigonométrique) et utiliser ses propriétés
• définir le produit vectoriel et utiliser ses propriétés
• calculer la distance de deux points et l’angle de deux vecteurs
• calculer l’aire d’un parallélogramme et celle d’un triangle

– Géométrie analytique plane

• établir les équations paramétriques et cartésiennes de la droite et en déduire un vecteur directeur, un vecteur normal, la pente et l’ordonnée à l’origine
• discuter les positions relatives de deux droites et, calculer leur intersection éventuelle
• calculer l’angle de deux droites, la distance d’un point à une droite, l’équation des bissectrices de deux droites
• établir l’équation cartésienne du cercle et les équations des tangentes.

Stochastique
– Statistique descriptive. Le candidat est capable de :

• appliquer à des situations simples les notions de population, d’effectif et de fréquence
• illustrer une distribution au moyen de diagrammes sectoriels ou en bâtons ou d’histogrammes
• définir et interpréter les indices d’une distribution (moyenne, variance et écart-type)

– Probabilités

• présenter les notions d’épreuve (expérience aléatoire), d’issue, d’événement, de probabilité d’un événement
• définir les événements non-$A$, $A$ ou $B$, $A$ et $B$, des événements indépendants, incompatibles
• énoncer et démontrer le théorème

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

• appliquer la formule de la probabilité conditionnelle

$P(A$$B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

• utiliser un arbre stochastique
• utiliser la loi binomiale