Vous remontez en bateau un fleuve qui s’écoule à la vitesse par rapport à la berge. La vitesse du bateau par rapport à l’eau vaut . Votre chapeau tombe et flotte sur l’eau, mais vous ne vous en apercevez qu’après un temps t. Vous faites alors instantanément demi-tour pour le récupérer.
a) Après combien de temps le récupérez-vous ?
b) Quelle distance le chapeau aura-t-il alors franchie dans le système de référence lié à la berge ? Et dans le système lié à l’eau ?

Données numériques
vitesse du fleuve par rapport à la berge : = 2 m/s
vitesse du bateau par rapport à l’eau : = 6 m/s
temps de réaction : t = 5 s.

Corrigé
 : vitesse du bateau par rapport à la berge lorsqu’il remonte le courant ;
 : vitesse du bateau par rapport à la berge lorsqu’il descend le courant ;
 : vitesse du fleuve (et donc vitesse du chapeau par rapport à la berge) ;
 : vitesse du bateau par rapport à l’eau.

La vitesse du bateau à la « montée » est égale à sa vitesse par rapport à l’eau diminuée de la vitesse du fleuve :

La vitesse du bateau à la « descente » est égale à sa vitesse par rapport à l’eau augmentée de la vitesse du fleuve :

Exprimons la relation entre les distances à l’aide des différentes vitesses et des temps :

En effectuant, nous obtenons :

Nous pouvons simplifier par et nous démontrons ainsi que le temps de « montée » est égal au temps de « descente » :

Réponses
a) Nous récupérons le chapeau après un temps égal à 2 (le double du temps pendant lequel nous nous en sommes éloignés).
b) Pendant ce temps, le chapeau a parcouru une distance égale à 2