Warning: Undefined array key "HTTP_REFERER" in /home/clients/5f3066c66025ccf8146e6c2cce553de9/web/spip/index.php on line 30

Deprecated: strtolower(): Passing null to parameter #1 ($string) of type string is deprecated in /home/clients/5f3066c66025ccf8146e6c2cce553de9/web/spip/index.php on line 30
Treuil - [Apprendre en ligne]
Rotation du solide rigide
Treuil
Tension de la corde et accélération angulaire

Calcul de la tension de la corde d’un treuil lors d’une rotation uniforme et lors d’une accélération.

Article mis en ligne le 29 novembre 2005
dernière modification le 6 avril 2015

par bernard.vuilleumier

Un treuil animé d’un rotation uniforme soulève une masse. Si on lâche la manivelle, le cylindre sur lequel est enroulé la corde accélère et la tension dans la corde diminue.

Exercice

Un treuil est constitué d’un cylindre homogène de masse M=20 kg, de rayon r=10 cm et d’axe Z. Une corde enroulée sur le treuil soutient un solide S de masse m=10 kg. Les masses de la corde et de la manivelle ainsi que toutes les résistances passives (frottements et résistance de l’air) sont négligeables. Calculez :
a) la tension T de la corde en situation d’équilibre ou de rotation uniforme ;
b) l’accélération angulaire $\alpha$ du treuil si on lâche la manivelle ;
c) l’accélération linéaire a du solide S dans sa chute lorsqu’on lâche la manivelle.

Corrigé

a) En situation d’équilibre et en rotation uniforme l’accélération est nulle. La somme des forces qui s’exercent sur le solide S est donc égale à 0. Nous pouvons écrire $\vec P+\vec T=\vec 0$, où $\vec P$ est le poids du solide et $\vec T$ la tension de la corde. En grandeur, la tension est alors égale au poids.

T = mg

 Rép. 100 N.

b) La relation fondamentale de la dynamique pour le cylindre du treuil en rotation s’écrit $M = I\alpha$M est la somme algébrique des moments par rapport à l’axe de rotation des forces extérieures appliquées au cylindre, I le moment d’inertie du cylindre et $\alpha$ son accélération angulaire. Le seul moment agissant sur le cylindre est celui de la tension $\vec T$ de la corde : $rT = I\alpha$ d’où $T =\frac{I\alpha}{r}$. D’autre part nous pouvons écrire, en considérant les forces qui agissent sur la masse m,
$\vec P+\vec T=m\vec a$, soit, en grandeur, T = m(g - a). En égalant les deux valeurs de T et en remplaçant l’accélération linéaire a par $\alpha r$, nous obtenons :

$\frac{I \alpha}{r}=m(g-\alpha r)$

puis en mettant $\alpha$ en évidence, $\alpha (mr+\frac{I}{r})= mg$ et finalement :

$\alpha = \frac{mg}{mr+\frac{I}{r}}$

 Rép. 50 rad/s2.

c) L’accélération linéaire a du solide S est la même que l’accélération tangentielle de la corde. Elle vaut :

$a = \alpha r$

 Rép. 5 m/s2.