Warning: Undefined array key "HTTP_REFERER" in /home/clients/5f3066c66025ccf8146e6c2cce553de9/web/spip/index.php on line 30

Deprecated: strtolower(): Passing null to parameter #1 ($string) of type string is deprecated in /home/clients/5f3066c66025ccf8146e6c2cce553de9/web/spip/index.php on line 30
Exercices sur la relativité restreinte - [Apprendre en ligne]
Relativité restreinte
Exercices sur la relativité restreinte
Événements, diagrammes d’espace-temps, intervalles, changement de référentiel

Événements, représentation d’événements à l’aide des diagrammes d’espace-temps, intervalles, changement de référentiel, expressions des transformations.

Article mis en ligne le 17 novembre 2006
dernière modification le 4 février 2021

par bernard.vuilleumier

Exercices sur les notions d’événements et d’intervalle entre deux événements. Représentation d’événements à l’aide des diagrammes d’espace-temps. Différentes expressions des transformations permettant de passer d’un référentiel à un autre.



Exercice 1
a) Un point a les coordonnées (2, 1) dans un système de référence. Quelles sont ses coordonnées dans un autre système qui a subi une rotation de $\frac{\pi}{3}$ par rapport au premier ?

 Rép. ($1+\frac{\sqrt3}{2}$, $\frac{1}{2}-\sqrt3$)

b) Un point a les coordonnées (4, 5) dans un système de référence qui a subi une rotation de $\frac{\pi}{5}$ par rapport au système d’origine. Quelles sont ses coordonnées dans le système d’origine ?

 Rép. (0.3, 6.4)

c) Vérifiez dans chaque cas qu’en appliquant la transformation inverse aux coordonnées obtenues, vous retrouvez les coordonnées de départ.



Exercice 2
1. Quatre événements (x, t) de coordonnées respectives (0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) dans un système de référence $\Sigma$ sont observés depuis un système de référence $\Sigma$’ en translation rectiligne uniforme selon Ox à la vitesse v=15 m/s.

a) Donnez la transformation permettant de passer des coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$ aux coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$’.

b) Calculez les coordonnées de ces événements dans $\Sigma$’.

c) Dessinez ces événements dans $\Sigma$ et dans $\Sigma$’.

2. Les quatre événements (x, t) de coordonnées respectives (0, 0), (1, 0), (1, 1) et (0, 1) sont maintenant observés depuis un système de référence $\Sigma$’ en translation rectiligne uniforme selon Ox à la vitesse $\beta=\frac{1}{2}$.

a) Donnez la transformation permettant de passer des coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$ aux coordonnées des événements exprimées dans $\Sigma$’.

b) Calculez les coordonnées de ces événements dans $\Sigma$’.

c) Dessinez ces événements dans $\Sigma$ et dans $\Sigma$’.



Exercice 3
a) Représentez les événements ci-dessous à l’aide d’un diagramme d’espace-temps.

$E_1=(1, 0), E_2={\frac {\sqrt{26}}{5},\frac {1}{5}}, E_3=(\frac {\sqrt{29}}{5}, \frac{2}{5}),\ E_4=(\frac {\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2})$

$E_5=(\frac{\sqrt{34}}{5}, \frac {3}{5}), E_6=(\frac{\sqrt{41}}{5}, \frac{4}{5}),\ E_7=(\sqrt{2}, 1),\ E_8=(\frac{\sqrt{74}}{5}, \frac{7}{5})$

$E_9=(\frac {\sqrt{13}}{2}, \frac {3}{2})$
$E_{10}=(\frac {\sqrt{89}}{5}, \frac {8}{5})$
$E_{11}=(\frac {\sqrt{106}}{5}, \frac {9}{5})$
$E_{12}=(\sqrt{5}, 2)$

b) Calculez l’intervalle séparant chacun de ces événements de l’origine.



Exercice 4
1. Parmi les points de chacune des figures ci-dessous, quels sont ceux qui sont :

a) séparés par la même distance de l’origine O ?

b) séparés par le même intervalle de l’origine O ?

2. Y a-t-il des points, dans chacune de ces figures, qui sont séparés entre eux :

a) par une distance égale à celle qui les sépare de l’origine O ?

b) par un intervalle égal à celui qui les sépare de l’origine O ?



Exercice 5
Le passage d’un système de référence Σ à un autre &Sigma’ en translation uniforme selon Ox est donné par la transformation de Lorentz suivante :

$\left( \begin{array}{cc} \cosh (\theta ) & -\sinh (\theta ) \\ -\sinh (\theta ) & \cosh (\theta ) \\ \end{array} \right)$

a) Démontrez que cette expression de la transformation de Lorentz est équivalente à :

$\left( \begin{array}{cc} \gamma & -\beta \gamma \\ -\beta \gamma & \gamma \\ \end{array} \right)$

b) Donnez la relation entre β et θ.

c) Dessinez les systèmes de référence au moment où les origines coïncident :

  • lorsque ${\theta}={\frac{\pi}{4}}$
  • lorsque ${\theta}={\frac{\pi}{2}}$

d) Que vaut la vitesse relative de translation d’un système par rapport à l’autre pour chacune de ces valeurs de θ ?

e) Une règle de 1 m, placée sur l’axe Ox de Σ, est observée depuis Σ’. Quelle longueur l’observateur de Σ’ lui attribue-t-il ? Quelle longueur un observateur de Σ attribuerait-il à une règle de 1 m placée sur l’axe Ox’ de Σ’ ?

f) Deux événements A et B, se produisent au même endroit et sont séparés par un mètre de temps dans Σ. Quel temps s’écoule-t-il entre ces événements pour l’observateur de Σ’ ? Quel temps s’écoulerait-il entre ces événements se produisant au même endroit et séparés par un mètre de temps dans Σ’ pour un observateur de Σ ?



Exercice 6
a) Deux événements se passent au même endroit dans un système lié au laboratoire, mais sont séparés par une durée de trois secondes. Quelles sont les coordonnées de ces événements dans un système lié à un repère mobile si le rapport de la vitesse relative des systèmes à celle de la lumière vaut $\frac{1}{2}$ ?

b) Un méson π a une durée de vie propre (durée de vie dans le référentiel lié à la particule) de 2.55 10-8 s. Il se déplace à une vitesse égale au 12/13 de la vitesse de la lumière par rapport au laboratoire. Calculez la durée de vie de ce méson π dans le laboratoire.


Autres exercices
 sur le calcul d’erreur
 sur le mouvement
 sur les mouvements relatifs
 sur la relativité galiléenne
 sur les forces d’inertie
 sur la quantité de mouvement
 sur la gravitation
 sur l’énergie
 sur l’énergie relativiste
 sur les oscillations harmoniques
 sur l’énergie et les oscillations
 sur la rotation de solides rigides
 sur la notion de flux
 sur les grandeurs de l’électromagnétisme et leurs relations
 sur le mouvement de particules chargées dans un champ électrique
 sur l’induction et l’auto-induction