Mesures et incertitudes
Exercices sur le calcul d’erreur
Incertitude absolue et relative, fonction de plusieurs variables, dérivée partielle, différentielle, différentielle totale

Exercices sur le calcul d’incertitude. La fonction donnant le résultat est dérivée par rapport à chacune de ses variables à l’aide de Mathematica.

Article mis en ligne le 2 mars 2006
dernière modification le 14 août 2020

par bernard.vuilleumier

L’évaluation des incertitudes affectant les grandeurs mesurées dans une séance de laboratoire, ainsi que la détermination de l’effet de ces incertitudes sur le résultat recherché constitue le calcul d’erreur.

Le mot « erreur » est en relation avec quelque chose de juste ou de vrai. Vous ne parlerez d’erreur que si vous avez à disposition une valeur de référence que vous pouvez considérer comme « vraie ». Pour la plupart des mesures que vous effectuerez au laboratoire, vous ne posséderez pas de valeur de référence et vous ne saurez pas quelle est la valeur exacte de la grandeur mesurée. Vous parlerez donc d’incertitude. Le résultat d’une expérience est en général lié par une fonction aux grandeurs mesurées. Si l’évaluation numérique des grandeurs mesurées comporte une certaine incertitude, le résultat de l’expérience - qui s’obtient en combinant les grandeurs mesurées - en comportera aussi une. Si les incertitudes de mesure sont petites, nous pouvons remplacer l’incertitude sur le résultat par la différentielle totale de la fonction qui relie ce dernier aux grandeurs mesurées. Les incertitudes de mesure pouvant être positives ou négatives, nous considérerons la valeur absolue des incertitudes pour obtenir une majoration de l’incertitude affectant le résultat final.

L’indication complète du résultat d’une mesure doit comporter la valeur m que vous estimerez la plus probable et l’intervalle à l’intérieur duquel vous êtes sûrs de trouver la « vraie » valeur.

 résultat d’une mesure : m ± Δm

L’incertitude absolue d’une grandeur mesurée est l’écart entre le résultat et la « vraie » valeur. Elle est égale à la demi-longueur de l’intervalle à l’intérieur duquel se trouve la « vraie » valeur. L’incertitude relative - quotient de l’incertitude absolue par la « vraie » valeur - indique la qualité ou précision du résultat obtenu. Elle s’exprime généralement en pour cent.

 incertitude relative : Δm/m



Exercice 1
Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux, vous mesurez le diamètre intérieur D1 et le diamètre extérieur D2 et vous trouvez D1 = 19.5 ± 0.1 mm et D2 = 26.7 ± 0.1 mm. Donnez le résultat de la mesure et sa précision.

 Rép. 3.6 ± 0.1 mm. 3 %.



Exercice 2
Calculez l’aire S d’un cercle dont le rayon vaut R = 5.21 ± 0.1 cm. Quelle est la précision du résultat obtenu ?

 Rép. 3.9 %



Exercice 3
Vous mesurez la longueur, la largeur et la hauteur de la salle de physique et vous obtenez les valeurs suivantes :
 longueur 10.2 ± 0.1 m
 largeur 7.70 ± 0.08 m
 hauteur 3.17 ± 0.04 m
Calculez et donnez les résultats avec leurs incertitudes absolues :
a) le périmètre
b) la surface du sol
c) le volume de la salle.

 Rép. 35.80 ± 0.36 m. 78.54 ± 1.59 m2. 248.97 ± 8.17 m3.



Exercice 4
Pour déterminer la masse volumique d’un objet vous mesurez sa masse et son volume. Vous trouvez m = 16.25 g à 0.001 g près et V = 8.5 ± 0.4 cm3. Calculez la masse volumique et la précision du résultat.

 Rép. 1.91 ± 0.09 g/cm3.



Exercice 5
La mesure de la hauteur h et du diamètre D d’un cylindre à l’aide d’un pied à coulisse a donné h = D = 4.000 ± 0.005 cm. Celle de sa masse a conduit au résultat m = 392.05 ± 0.05 g. Calculez le volume du cylindre et sa masse volumique.

 Rép. 50.27 ± 0.19 cm3. 7.80 ± 0.03 g/cm3.



Exercice 6
Vous mesurez la longueur l et la période T d’un pendule. Vous obtenez l = 1 ± 0.005 m et T = 2 ± 0.01 s. Vous calculez l’accélération terrestre donnée par g = 4Pi2l/T2. Quelle est l’erreur absolue maximale ? Et quelle est l’erreur relative ?

 Rép. 9.87 ± 0.15 m/s2. 1.5 %.


Questions
 Expliquez en quelques mots quel est le but du calcul d’erreur.
 Dans quels cas parle-t-on d’erreur ? d’incertitude ?
 Définissez l’incertitude absolue et l’incertitude relative.


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Documents
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Notebook Mathematica 18.7 kio / Texte